Halo Sahabat Latis, agar teman-teman semua semakin paham materi determinan matriks, yuk kita latihan contoh soal determinan matriks di artikel kali ini.
Di dalam pelajaran matematika, matriks merupakan salah satu materi yang cukup penting karena aka nada kaitannya dengan materi lanjutannya, seperti invers matriks.
Selain itu, matriks juga digunakan dalam bidang informatika untuk sistem komputer, contohnya pada pengaplikasian di bidang keamanan komputer dan pemrograman.
Baca juga: Bimbel Karantina
Bukan hanya itu nih Sahabat Latis, enkripsi data di dalam Ilmu Komputer juga banyak menggunakan berbagai operasi determinan matriks.
Karena itulah, kali ini kita akan latihan contoh soal determinan matriks dengan berbagai metode, mulai dari determinan matriks 2x2, 3x3, dan 4x4.
Metode yang akan kita gunakan yaitu dengan menggunakan aturan Sarrus, minor kofaktor, sampai dengan rumus invers matriks.
Simak pembahasannya sampai habis ya!
Rumus Determinan Matriks
Sebelum kita masuk ke latihan contoh soal determinan matriks, kita recall dulu nih materi yang sebelumnya sudah kita pelajari.
Yaitu cara menghitung determinan matriks persegi yang terdiri dari:
- Matriks berordo 2x2 (memiliki dua baris dan dua kolom)
- Matriks berordo 3x3 (memiliki tiga baris dan tiga kolom)
- Matriks berordo 4x4 (memiliki empat baris dan empat kolom)
1. Rumus Determinan Matriks 2x2
Untuk matriks dengan ordo 2x2, berikut ini rumus determinannya:
Dari rumus di atas, bisa kita ketahui bahwa cara menghitungnya adalah dengan operasi silang atau mengalikan elemen-elemen yang berada di diagonal utama.
Baru kemudian dikurangkan dengan elemen-elemen pada diagonal sekunder.
2. Rumus Determinan Matriks 3x3
Untuk menghitung determinan matriks dengan ordo 3x3, kalian bisa menggunakan beberapa metode seperti Sarrus dan Minor-Kofaktor.
Kita bahas satu-persatu ya!
a. Aturan Sarrus
Aturan Sarrus hanya bisa digunakan pada matriks 3x3 ya.
Cara pengoperasiannya adalah seperti berikut ini:
Baca juga: Mengenal Pengertian Majas, Fungsi, Jenis-Jenis, dan Contohnya Secara Lengkap!
Langah pertama, tulis ulang elemen-elemen yang ada di kolom 1 dan 2 di sebelah matriks A.
Lalu, kalikan elemen-elemen matriks tersebut sesuai dengan pola silang seperti berikut ini:
b. Metode Minor-Kofaktor
Jika menggunakan metode minor-kofaktor, determinan matriks A bisa dicari dengan menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom yang ada pada matriks A.
Dari matriks A di atas, kita buang elemen baris i dan kolom j atau kita beri lambang Aij.
Misalnya, kita ingin pilih A₁₂ artinya:
Buang baris ke-1 dan kolom ke-2
Baca juga: Yuk Kenalan dengan Majas Personifikasi: Pengertian, Karakteristik, dan Contohnya!
Langkah-langkahnya seperti berikut ini:
Pertama, cari minor (M) lalu kofaktor (C atau K) elemen-elemennya, misalnya:
Untuk mencari minor, Mij = det(Aij)
Mencari kofaktor, C = (-1)i + j Mij
Rumus determinan matriksnya adalah:
Det (A) = a . C₁₁ + b . C₁₂ + c . C₁₃
3. Rumus Menghitung Determinan Matriks 4x4
Untuk bisa menghitung determinan matriks dengan ordo 4x4, kita bisa menggunakan dua cara yakni:
Determinan Matriks 4x4 Metode Sarrus
Langkah pertama:
Hitung dengan urutan berikut ini:
(+ - + - - + - +) dengan jarak 1-1-1
Diperoleh perhitungan seperti berikut ini:
A1 = afkp - bglm + chin - dejo - ahkn + belo - cfip + dgjm
Langkah kedua:
Hitung dengan urutan seperti berikut ini:
(- + - + + - + -) dengan jarak 1-2-3
Diperoleh perhitungan seperti berikut ini:
A2 = -aflo + bgip - chjm + dekn + ahjo - bekp + cflm - dgin
Langkah ketiga:
Hitung dengan urutan seperti berikut ini:
(+ - + - - + - +) dengan jarak 2-1-2
Diperoleh perhitungan seperti di bawah ini:
A3 = agln - bhio + cejp - dfkm - agjp + bhkm -celn + dfio
Pastikan semua perhitungan sudah benar dengan teliti ya!
Setelah menemukan nilai dari A1, A2 dan A3, sekarang kita bisa langsung menghitung nilai determinannya dengan rumus berikut ini:
Det (A) = A1 + A2 + A3
3 Contoh Soal Dterminan Matriks
Agar Sahabat Latis semakin paham, coba contoh soal determinan matriks berikut ini:
1. Ada dua matriks, yaitu matriks A dan B:
Agar determinan matriks A sama dengan dua kali determinan B, maka nilai x yang memenuhi adalah...
Penyelesaian:
Langkah pertama, cari determinan matriks A dan B terlebih dahulu:
|A| = ab – bc = 2x² - 6
|B| = ab – bc = 4x – (-9) = 4x + 9
Baca juga: Bimbel Masuk UI
Karena determinan matriks A sama dengan 2 kali determinan matriks B, maka:
|A| = 2|B|
2x² - 6 = 2(4x + 9)
2x² – 6 = 8x + 18
2x² – 8x = 18 + 6
2x² – 8x = 24
2x² – 8x – 24 = 0
x² – 4x – 12 = 0
Mencari nilai akar-akarnya:
( x -6 ) (x + 2 ) =0
x – 6 = 0
x = 6
x + 2 = 0
x = -2
Jadi, hasilnya adalah x = 6 dan x = -2.
2. Tentukan nilai determinan matriks di bawah ini!
Penyelesaian:
Dengan menggunakan metode Sarrus
|A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
|A| = (1x5x6) + (4x2x1) + (1x2x3) – (1x5x1) – (1x2x3) – (4x2x6)
|A| = 30 + 8 + 6 – 5 – 6 – 48
|A| = -15
Jadi, nilai determinan matriks A adalah -15.
Baca juga: Determinan Matriks 4 x 4
3. Gunakan metode kofaktor untuk mencari besar determinan dari matriks A berordo 4x4 berikut ini!
Penyelesaian:
Langkah 1: Menghitung nilai minor dan kofaktornya terlebih dahulu.
Minor M11 dan Kofaktor C11 dari a11:
a11 = 2
M11 = (4 × 4 × 3) + (3 × 3 × 5) + (3 × 3 × 2) - (3 × 4 × 5) - (4 × 3 × 2) - (3 × 3 × 3)
M11 = 48 + 45 + 18 - 60 - 24 - 27
M11 = 0
C11 = (-1)1+1 × M11
C11 = 1 × 0
C11 = 0
Minor M21 dan Kofaktor C21 dari a21:
a21 = 2
M21 = (3 × 4 × 3) + (2 × 3 × 5) + (2 × 3 × 2) - (2 × 4 × 5) - (3 × 3 × 2) - (2 × 3 × 3)
M21 = 36 + 30 + 12 - 40 - 18 - 18
M21 = 2
C21 = (-1)2+1 × M21
C21 = -1 × 2
C21 = -2
Minor M31 dan Kofaktor C31 dari a31:
a31 = 3
M31 = (3 × 3 × 3) + (2 × 3 × 5) + (2 × 4 × 2) - (2 × 3 × 5) - (3 × 3 × 2) - (2 × 4 × 3)
M31 = 27 + 30 + 16 - 30 - 18 - 24
M31 = 1
C31 = (-1)3+1 × M31
C31 = 1 × 1
C31 = 1
Minor M41 dan Kofaktor C41 dari a41:
a41 = 2
M41 = (3 × 3 × 3) + (2 × 3 × 3) + (2 × 4 × 4) - (2 × 3 × 3) - (3 × 3 × 4) - (2 × 4 × 3)
M41 = 27 + 18 + 32 - 18 - 36 - 24
M41 = -1
C41 = (-1)4+1 × M41
C41 = -1 × -1
C41 = 1
Baca juga: 6 Alasan Ikut Les Privat SMP
Langkah selanjutnya yaitu menghitung besar determinan dari matriks tersebut dengan rumus determinan minor kofaktor yang sudah dijelaskan di atas:
Det (A) = (a11 × C11) + (a21 × C21) + (a31 × C31) + (a41 × C41)
Det (A) = (2 × 0) + (2 × (-2)) + (3 × 1) + (2 × 1)
Det (A) = 0 - 4 + 3+ 2
Det (A) = 1
Jadi besar determinan dari matrik A tersebut yaitu sebesar 1.
Semoga mudah dipahami ya!
Baca juga: 5 Manfaat Ikut Les Privat Jakarta
Kalau kalian masih kebingungan, yuk coba trial gratis les privat berkualitas dengan Latis Education yang bisa menjadi solusi kamu.
Kamu juga bisa mencari banyak informasi terkait materi pelajaran lainnya di website kami https://latiseducation.com/blog.
Untuk teman-teman yang berminat dengan kualitas yang sudah terjamin 100% oke, hubungi kami di nomor 6285810779967
Atau Jika kamu ingin langsung bertanya terkait les privat Jakarta, kunjungi kami di alamat berikut ini:
Ocean Terrace E1 Jalan Tole Iskandar, Tirtajaya, Kec. Sukmajaya, Kota Depok, Jawa Barat, 16412
Sampai jumpa di pertemuan pertama nanti, ya!
Referensi:
https://www.kompas.com/skola/read/2020/11/26/192051669/contoh-soal-menentukan-determinan-matriks
https://www.gramedia.com/literasi/determinan/
