Ku takut mamaku marah, ku takut papaku marah ... kalo nggak belajar.

Siapa nih yang takut dimarah mama papa? Biasanya mama papa menganggap kalo yang namanya belajar itu lebih keren kalo bidang matematika. Jadi kalo sahabat Latis juga mau keliatan keren, baca dulu nih Barisan Aritmatika dan Geometri yang dikemas secara ciamik oleh mimin.

Barisan Aritmatika dan Geometri

Welcome to puyeng-puyeng club. Kalo kalian mau tau soal barisan secara lebih khusyu' boleh mampir ke artikel sebelumnya. Di sini mimin mau coba mengulas ga setajem silet ya paling setajem pisau dapur aja, hehe. Mari dibahas satu-satu ya!

a. Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

U_n - U_{(n - 1)} = b

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b), kalian tinggal selip-selipin aja deh ke dalam rumus itu. Bingung sih memang kalo ga ada contohnya, nanti deh di bawah mimin kasi contohnya.

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara kedua bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris bilangan aritmatikanya adalah:

Nilai q = 3

Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5

$b = \frac{p-a}{q+1}$

$b = \frac{9-1}{3+1} = \frac{8}{4}= 2$

Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Nah tadi kan kita membahas suku sukuan Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke- \frac{1}{2}(n+1). Jika diselesaikan dalam rumusU_n = a + (n - 1)b, maka nilai suku tengah didapatkan:

U_n = a + (n - 1)b

$= a + (\frac{1}{2}n - \frac{1}{2})b = a + \frac{1}{2}(n - 1)b$

Apakah kalian pusing? Mimin pun iyes. Jadi intinya ada dua suku-sukuannya ya! Ada suku tengah dan ada pula suku ke sekiaan... Sekarang kita mau ke barisan selanjutnya.

b. Barisan Geometri

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

$\frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = r$

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai

$r = \frac{16}{8} = \frac{8}{4} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k \cdot r^{(n - k)}$

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama U_k = a dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai U_n adalah:

$U_n = a \cdot r^{(n - 1)}$

Misalnya kita punya barisan geometri:

1, 3, 9, 27, 81, ....

Suku pertama (a) dari barisan geometri tersebut adalah 1. Maka r-nya adalah:

81/27 = 27/9 = 9/3 = 3/1 jadi r =3

Yes, aku biisaa aku pasti biisaaa... Pokoknya di artikel ini kebanyakan nyanyinya deh biar ga puyeng.

Jadi, rasio dari barisan geometri tersebut adalah 3.

Sekarang kita pelajari rumus suku ke–n (Un), yuk!

Rumus Un pada Barisan dan Deret Geometri

Un adalah suku ke-n pada barisan dan deret. Untuk mencari Un pada barisan geometri dan deret geometri, kamu bisa menggunakan rumus berikut ini.

1, 3, 9, 27, 81, ....

Lalu, kita coba cari Un nya. Misalnya n yang mau dicari adalah 6, maka:

Un = arn-1

U6 = ar5

U6 = 1 . 35

U6 = 1 . 243

U6 = 243

Jadi, U6 dari barisan geometri tersebut adalah 243.

Mudah kan, rumusnya? Syaratnya adalah kalian harus mengetahui berapa nilai a dan r-nya. Dengan begitu, kalian sudah bisa mencari Un dengan mudah. Sekarang, kita cari tahu rumus selanjutnya yuk! Uh makin semangat deh ini.

Rumus Sn pada Barisan dan Deret Geometri

Sn adalah jumlah suku ke-n pada barisan dan deret. Nah, bagaimana cara kita mencari tau Sn pada barisan geometri dan deret geometri? Coba kalian cari ya, mimin bantu pake doa, hehehe.

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga itu dibagi menjadi 2 jenis yaitu deret geometri tak hingga divergen dan deret geometri tak hingga konvergen. Keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Yuk, kita lihat pengertian dari kedua jenis deret geometri tak hingga tersebut beserta perbedaannya!

1. Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ……………

Kalau ditanya berapa sih, jumlah seluruhnya? Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Berbeda dengan deret geometri tak hingga divergen, deret geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya.

Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.

Lalu bagaimana cara menghitung jumlah seluruhnya dari deret geometri tak hingga konvergen?

Rumus S tak hingga pada Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya harus bernilai antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif.

Nah, sekarang kita lihat yuk rumus untuk menghitung Stak hingga atau jumlah tak hingganya!

$S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}$

Contoh soal:

Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah?

Jawab: ini masuk ke deret aritmatika. Langsung saja masukkan dalam rumus

$U_n = U_k + (n - k)b$

Ini masih kalian harus jabarkan lagi menjadi

$U_5 = 42 = a + 4b = a + 4(-9) = a - 36$

Setelah itu cari U12 nya

$U_{12} = a + 11b = 78 + 11(-9) = 78 - 99 = -21$

$S_{12} = \frac{n}{2} (a + U_12) = \frac{12}{2} (78 + (-21)) = 6 \times 57 = 342$

Nah gimana nih udah mulai dapet pencerahan atau semakin ruwet? Biar lebih intens dan detail penjelasannya datengin guru aja yuk atau mimin bantu secara onlen dan pantengin terus latiseducation.com ya!

Baca juga berbagai artikel modul di Latis privat

See you!

Barisan Aritmatika dan Geometri