Ketika belajar matematika, kamu pasti sudah tidak asing lagi dengan istilah “bilangan” kan? Bilangan merupakan satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan dapat diunitkan, ditambahkan, atau dikalikan.
A. Konsep Bilangan Bulat
Bilangan bulat merupakan kumpulan bilangan negatif, nol, dan bilangan positif.
Dalam bilangan bulat ditulis: …, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
1. Notasi Bilangan Bulat dan Posisinya pada Garis Bilangan
Salah satu contoh alat yaang dapat dijadikan contoh dalam operasi bilangan bulat untuk mengukur skalanya adalah termometer. Jika indikator air raksa dalam skala termometer menunjuk ke angka 35˚C berarti besar suhu 35˚C di atas nol. Jika 11˚C maka 11˚C di atas nol. Bilangan-bilangan yang menunjukkan skala angka di atas nol disebut bilangan bulat positif dan bilangan asli.
Jika dilihat berdasarkan skala termometer dalam ukuran Celsius, titik didih air adalah 100˚C dan titik beku air adalah 0˚C. Titik nol dalam skala Termometer Celsius merupakan dasar atau acuan untuk menentukan titik didih air dan titik beku air. Suhu 7˚C di bawah nol ditulis -7˚C, dan suhu -15˚C dibaca “suhu 15˚C di bawah nol.” Bilangan-bilangan di bawah nol disebut dengan bilangan negatif atau bilangan bulat negatif.
(i) Posisi angka di atas nol menunjukkan bilangan positif (+).
(ii) Posisi angka di bawah nol menunjukkan billangan negatif (-)
Contoh:
Tuliskan 18˚C di bawah titik beku air dan 35˚C di atas titik didih air dalam garis bilangan horisontal (mendatar)!
Diketahui:
18˚C di bawah titik beku air = 0 – 18 = -18˚C.
35 ˚C di atas titik didih air = 100 + 35 = 135˚C.
Dalam garis bilangan horisontal (mendatar), dapat dituliskan sebagai berikut:
2. Hubungan Antara Dua Bilangan Bulat
Antara dua bilangan bulat dapat dibandingkan mana angka yang lebih besar, sama, atau lebih kecil. Simbol-simbol yang digunakan untuk menyatakan semua itu dapat dilihat di bawah ini:
(i) “a lebih dari b” ditulis a > b.
(ii) “a kurang dari b” ditulis a < b.
(iii) “a kurang dari atau sama dengan b” ditulis
a ≤ b.
(iv) “a lebih dari atau sama dengan b” ditulis
a ≥ b.
3. Bidang Koordinat Cartesius
Bidang Koordinat Cartesius terbentuk dari dua buah garis bilangan yang berpotongan tegak lurus di titik (0, 0). Garis bilangan pertama merupakan garis bilangan horisontal (mendatar) dan dinamakan sumbu X. Garis bilangan kedua merupakan garis bilangan vertikal (tegak) dan dinamakan sumbu Y. titik (0, 0) yang merupakan titik potong kedua garis itu disebut titik pangkal (origin) dan merupakan acuan untuk menentukan pasangan titik yang lain, misalnya A(x, y).
x pada titik A disebut absis titik A dan
y pada A disebut ordinat titik A,
sedangkan (x, y) disebut koordinat titik A.
Titik (4, -3) terletak di kuadra IV dan titik (-5, 2) terletak di kuadra II.
|
Kuadran |
x |
y |
|
I |
+ |
+ |
|
II |
- |
+ |
|
III |
- |
- |
|
IV |
+ |
- |
Tabel di atas adalah pedoman untuk menentukan letak titik (x, y) pada masing-masing kuadran.
A. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat
Operasi hitung pada bilangan bulat meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan.
1. Penjumlahan dan Sifat-sifatnya
Jika a dan b merupakan bilangan cacah (bilangan yang terdiri dari bilangan nol dan bilangan bulat positif), maka penjumlahan yang melibatkan bilangan-bilangan bulat a, b, -a, dan -b mempunyai sifat sebagai berikut:
(i) a + b = b + a
(ii) (-a) + (-b) = -(a + b)
(iii) a + (-b) = (-b) + a = -(b – a)
(iv) a + (-b) = (-b) + a = 0
dengan a = b
(v) a + (-b) = (-b) + a = a – b
dengan a > b
2. Pengurangan dan Sifat-sifatnya
Operasi pengurangan merupakan kebalikan atau lawan dari operasi penjumlahan. Hal ini dapat disimpulkan:
a – b = a = (-b)
3. Perkalian dan Sifat-sifatnya
Tanda hasil perkalian antarbilangan bulat sebagai berikut:
- Perkalian dua bilangan bulat dengan tanda sama adalah bilangan bulat positif.
- Perkalian dua bilangan bulat dengan tanda berbeda adalah bilangan bulat negatif.
- Perkalian sembarang bilangan bulat dengan nol adalah nol.
Jika a dan b adalah sembarang bilangan cacah maka a x b juga bilangan cacah.
Jika a sembarang bilangan cacah maka berlaku:
0 x a = a x 0 = 0.
Atau
a x 1 = 1 x a = a.
1 (satu) disebut unsur identitas pada perkalian.
Jika a dan b adalah sembarang bilangan cacah pada pertukaran perkalian maka berlaku:
a x b = b x a
Jika a, b, dan c adalah sembarang bilangan cacah pada pengelompokan perkalian maka berlaku:
(a x b) x c = a x (b x c) = abc.
Untuk sembarang bilangan cacah pada distributif perkalian penjumlahan a, b, dan c selalu berlaku:
- a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
- (a + b) x c = (a x c) + (b + c)
Untuk sembarang bilangan cacah pada distributif perkalian pengurangan a, b, dan c selalu berlaku:
- a x (b – c) = (a x b) – (a x c)
- (a – b) x c = (a x c) – (b x c)
4. Pembagian dan Sifat-sifatnya
Tanda hasil pembagian antarbilangan bulat sebagai berikut:
- Hasil bagi dua bilangan bertanda sama adalah bilangan positif.
- Hasil bagi dua bilangan yang berbeda tanda adalah bilangan negatif.
- Hasil bagi bilangan nol dengan bilangan tidak nol adalah bilangan nol.
- Hasil bagi bilangan tidak nol dengan bilangan nol adalah tidak terdefinisi.
Untuk sembarang bilangan asli a, b, dan c dalam operasi kebalikan (invers) selalu berlaku:
a : b = c a = b x c
Untuk sembarang bilangan cacah a, selalu berlaku:
a/0 = a : 0 = ~ (tidak terdefinisi)
0/a = 0 : a = 0 dengan a ≠ 0
Referensi:
As'ari A.R, Tohir M, Valentino E, Imron Z, Taufiq I. (2017). Matematika SMP/MTs Kelas VII Semester I. Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud
Simangunson, Wilson dan Sukino. (2006). Matematika untuk SMP Kelas VII. Jakarta: Erlangga.
