Hai hai hai sahabat Latis! Apa kabare? Berpusing-pusing dengan aritmatika sudah bukan jamannya lagi. Kenapa? Karena mimin sudah punya kartu sakti rumus Aritmatika Bertingkat. Mau tingkat berapa? Sini mimin bantu semuanya. Dimana lagi kalian bisa menemukan rumus sekomplit ini?

Rumus Aritmatika Bertingkat

Yuk kita mulai dengan versi dasar rumus tersebut!

Un = a + (n — 1) b

Rumus di atas bisa kita sebut rumus suku ke n untuk deret aritmetika tingkat 1.

Lalu bagaimana dengan tingkat yang lain?

Rumus Aritmatika Bertingkat (2)

Tingkat 3

Tingkat 4

Mimin sudah membagi bocoran keempat tingkat. Sama dengan rumah kali ya jadi paling tinggi adalah tingkat empat. Usut punya usut sih begitu tapi ya tidak tau juga sih faktanya bagaimana. Langsung ke contoh soal saja kah sebaiknya?

Bentar deh ya, ini ada info lagi Rumus Un (jumlah suku ke n) di atas bisa dijadikan rumus jumlah n suku pertama (Sn), hanya saja beda tingkatannya. Jika suatu deret, Un nya merupakat deret aritmetika tingkat 3 maka Sn nya merupakan tingkat 4

Yuuk...

Contoh Soal rumus Aritmatika Bertingkat 

Tentukan jumlah 81 suku pertama deret berikut :

1 + 4 + 7 + 10 + …..

Jawab :

Kita bisa memecahkan soal ini dengan menggunakan cara biasa (deret aritmetika tingkat 1). Dengan ketentuan

Cara I :

a = 1 b = 4 — 1 = 3

Cara II:

Deret di atas merupakan deret aritmetika tingkat I, sehingga rumus Sn nya merupakan deret aritmetika tingkat 2

S1 = 1 S2 = 1 + 4 = 5 S3 = 1 + 4 + 7 = 12

S4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22 S5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35

Pusing ga sih? 

Jika bilangan ganjil dikelompokkan menjadi

(1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), (21, 23, 25, 27, 29)……

Maka bilangan terakhir pada kelompok ke 50 adalah …..

Jawab :

Kita ambil saja bilangan terakhir pada setiap suku

1, 5, 11, 19, 29, ….

Selanjutnya bilangan-bilangan ini kita cari selisih-selisih antar sukunya sebagai berikut :

U50 = 1 + (50 — 1).4 + (50 — 1)(50 — 2).1

 

U50 = 1 + 196 + 2352 =2549

 

Jadi, bilangan terakhir pada kelompok ke 50 adalah 2.549

Sebenernya kalian tinggal memasukkan angka ke dalam rumus. Hanya saja mungkin yang membut susah adalah jenis rumus yang mana sih yang harus dipakai?

Semua bilangan asli kelipatan 3 dikelompokkan sebagai berikut

 

(3), (6, 9, 12), (15, 18, 21, 24, 27), (30, 33, 36, 39, 42, 45, 48) , (51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75), …..

 

Jumlah bilangan pada kelompok ke 101 adalah ……

 

Jawab :

 

Jika kita lanjutkan kelompok berikutnya adalah

 

(78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108)

 

(111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147)

Daritadi kita udah membahas si Aritmatika tapi ga sadar juga kalo ternyata kita belum kenalan. Duh sedih sekali daritadi disebut tapi ga kenal dia siapa, asalnya mana, rumahnya mana. 

Jadi aritmatika bertingkat itu adalah angka-angka yang memiliki selisih tapi sayangnya selisihnya itu ga bisa kita temukan di angka pertama. Bisanya ya setelah melihat tingkat-tingkatnya. Kalo kata nak muda sih kudu tau hingga ke dalem-dalemnya gitu. That's ok sih. 

Kalau nilai beda tetapnya langsung bisa ditemukan di barisan tingkat pertamanya, kita bisa menyebutnya dengan barisan aritmatika bertingkat satu. Kalau nilai beda tetapnya ditemukan di barisan tingkat keduanya, kita bisa sebut dengan barisan aritmatika bertingkat dua. Kalau nilai beda tetapnya ditemukan di barisan tingkat ketiganya, kita bisa sebut dengan barisan aritmatika bertingkat tiga, begitupun seterusnya.

Tapi ada juga yang selisihnya ga sama jadi kalo diibaratin manusia, nih kecengan termasuk yang moody. 

Tentukan suku ke-7 dari barisan aritmatika bertingkat 5, 6, 9, 14, …

 

Pembahasan:

 

Diketahui, U1 = 5, U2 = 6, U3 = 9, dan U4 = 14.

 

Beda antara U1 dengan U2

b = U2 - U1 = 6 - 5 = 1

 

Beda antara U2 dengan U3

b = U3 - U2 = 9 - 6 = 3

 

Beda antara U3 dengan U4

b = U4 - U3 = 14 - 9 = 5

Nah, selisihnya ga sama kan? Caranya selanjutnya gini nih:

kita anggap 1, 3, dan 5 sebagai suku-suku baru di tingkat pertama, dan kita cari selisih antara suku-suku baru tersebut.

 

Beda antara U1* dengan U2*

b = U2* - U1* = 3 - 1 = 2

 

Beda antara U2* dengan U3*

b = U3* - U2* = 5 - 3 = 2

Masukkan deh ke rumus tingkat dua. 

Un = n2 - 2n + 6

 

Kemudian, kita diminta mencari suku ke-7, berarti U7 dengan n = 7. Jadi, kita masukkan saja nilai n = 7 ke dalam rumus Un = n2 - 2n + 6.

 

U7 = 72 - (2)(7) + 6 = 49 - 14 + 6 = 41

 

 Yuk kalian coba memecahkan soal terakhir tersebut! Intinya kalo ada selisih yang ga sama, kalian bikin mereka jadi suku baru. Masih ga sama juga? Turunin lagi tingkatnya yang artinya bikin suku baru lagi sampe bebek lahiran. Hehehe. 

Lanjut ke soal berikutnya

Tentukanlah suku ke-10 dari barisan aritmatika bertingkat 1, 3, 11, 31, 69, …

 

Pembahasan:

 

Diketahui, U1 = 1, U2 = 3, U3 = 11, U4 = 31, dan U5 = 69.

 

Beda antara U1 dengan U2

b = U2 - U1 = 3 - 1 = 2

 

Beda antara U2 dengan U3

b = U3 - U2 = 11 - 3 = 8

 

Beda antara U3 dengan U4

b = U4 - U3 = 31 - 11 = 20

 

Beda antara U4 dengan U5

b = U5 - U4 = 69 - 31 = 38

Nah, udah kelihatan kan kalo selisihnya ga sama? mari kita buat kembali anakan suku ini.

Beda antara U1* dengan U2*

b = U2* - U1* = 8 - 2 = 6

 

Beda antara U2* dengan U3*

b = U3* - U2* = 20 - 8 = 12

 

Beda antara U3* dengan U4*

b = U4* - U3* = 38 - 20 = 18

Hahaha ternyata masih belum sama lagi nih.

kita anggap lagi 6, 12, dan 18 sebagai suku-suku baru di tingkat kedua, dan kita cari selisihnya kembali.

 

Beda antara U1** dengan U2**

b = U2** - U1** = 12 - 6 = 6

 

Beda antara U2** dengan U3**

b = U3** - U2** = 18 - 12 = 6

Jadi berapa tingkat? Ratuusaaan, leeebiiih....

Nggak dong ya, emang iklan wafer? Jadi ini totalnya ada tiga tingkatan ya sahabat Latis!

 

Hmm susah-susah gampang ternyata memang harus penuh ketelitian. Apapun itu jika menemukan kesulitan jangan lupa yuk tanya Latis Education.

Baca juga tema lainnya di Latis Privat